В мире математики всегда справедливы две вещи: во-первых, некоторые из самых трудноразрешимых и сложных задач часто находят неожиданное применение в реальном мире; и, во-вторых, для людей, которые проводят все свое время в этом реальном мире, эти задачи могут показаться… ну, довольно глупыми.
Возьмём, к примеру, «проблему дивана» — загадку, которая десятилетиями ставила математиков в тупик, но при этом была «решена» каждым, кто хоть раз пытался переставить мебель при переезде. Вопрос состоит в том, как переместить изогнутый диван через угол в 90 градусов. Да, ровно так, как в том знаменитом эпизоде из сериала «Друзья», который сейчас вспомнили многие из вас.
Математика перемещения
Технически, проблема дивана формулируется так: какая фигура наибольшей площади может быть перемещена через прямой угол в коридоре шириной в одну единицу? Впервые этот вопрос был официально сформулирован в 1966 году австрийско-канадским математиком Лео Мозером (Leo Moser), хотя обсуждения на эту тему велись в математических кругах ещё задолго до этого. И вот, до сегодняшнего дня проблема оставалась нерешённой.
Обратите внимание, что в самой формулировке задачи нет упоминания о «диване» — первоначально в качестве «мебели» предлагался «рояль». Однако терминология быстро закрепилась, и вскоре появился культовый образ дивана.
В 1968 году Джон Хаммерсли (John Hammersley) в своей работе с весьма выразительным названием «О деградации математических навыков под воздействием «Современной математики» и прочего интеллектуального мусора в школах и университетах/«Modern Mathematics» and by similar soft intellectual trash in schools and universities вывел нижнюю границу площади фигуры. Он доказал, что диван определённой формы может иметь площадь (π/2)+(2/π), то есть примерно 2,2074.
Более того, Хаммерсли установил верхнюю границу площади — 2√2, то есть около 2,8284. Таким образом, задача начала обретать очертания решения: точное значение не было определено, но математики знали, что оно находится между этими двумя значениями.
Дальнейшие открытия
Однако перенесемся на 25 лет вперед, когда по-прежнему границы Хаммерсли были лучшими, что у нас были. Так продолжалось до тех пор, пока математик из Рутгерского университета Джозеф Гервер (Joseph Gerver) не предложил новую форму дивана. Его решение, состоящее из 18 аналитически гладких соединённых кривых, увеличило нижнюю границу до 2,2195.
И только ещё через четверть века, в 2018 году, математики Йоав Каллус (Yoav Kallus) и Дэн Ромик (Dan Romik), используя компьютерное доказательство, уменьшили верхнюю границу до 2,37. Это было значительным улучшением по сравнению с первоначальными результатами, но точное решение всё ещё оставалось недостижимым.
Решение Бэка
Примерно в то время, когда Каллус и Ромик работали над своим доказательством, постдокторант Йонсеевского университета в Сеуле Джинеон Бэк (Jineon Baek) тоже начал размышлять над этой задачей. Семь лет спустя он представил доказательство, которое, по его мнению, решает проблему. Работа пока не прошла рецензирование, но уже привлекла внимание сообщества.
«Я посвятил этому много времени, но до сих пор не сделал ни одной публикации, — рассказал он New Scientist. — Теперь я могу сказать миру, что внёс ценный вклад в решение этой задачи, и это очень приятно.»
Его доказательство охватывает более 100 страниц и выходит за рамки простого перебора вариантов. Оно подтверждает, что оптимальный диван должен обладать тремя свойствами: быть монотонным, сбалансированным и иметь угол поворота π/2. Затем Бэк доказал, что площадь этого дивана совпадает с нижней границей, предложенной Гервером.
Завершение пути?
И хотя доказательство Бэка ещё требует проверки, сам он настроен осторожно оптимистично.
«Я не могу быть уверен на 100%, ведь все мы люди и можем ошибаться. Но я сделал всё возможное, чтобы быть уверенным в своей работе», — поделился он.
Таким образом, спустя 32 года выясняется, что Гервер был прав.
«Мне 75 лет, а Бэку, наверное, не больше 30, — отметил Гервер. — У него больше энергии и мозговых клеток, чем у меня, и я рад, что он завершил то, что начал я.»
Если же вы тоже мечтали решить эту задачу, не отчаивайтесь. Вы всегда можете придумать свою форму дивана — пусть она и будет менее удобной для вашей гостиной. Или, как говорится, вернуться к чертёжной доске.
Полный текст доказательства доступен на сервере препринтов ArXiv.
