На протяжении веков простые числа будоражили умы математиков, которые неустанно искали новые закономерности, позволяющие их распознавать и понимать, как они распределяются среди других чисел. Простые числа — это целые числа больше единицы, делящиеся только на 1 и на самих себя. Самые маленькие простые числа — это 2, 3 и 5. Проверить, является ли небольшое число простым, несложно — достаточно выяснить, на что оно делится. Но при работе с большими числами задача резко усложняется. Например, определить, является ли число 10 или 1000 простым, ещё можно. Однако для огромных чисел этот подход уже непрактичен или даже невозможен. К примеру, наибольшее известное простое число — это 2¹³¹⁷²⁷⁹⁸⁴¹ − 1, и оно состоит из 41 024 320 цифр. На первый взгляд это число кажется непостижимо большим, но с учётом того, что положительных целых чисел бесконечно много, оно на самом деле невелико по сравнению с ещё более крупными простыми числами.
Кроме того, математики стремятся к большему, чем просто поочерёдное деление чисел, чтобы выяснить, простое оно или нет.
«Простые числа интересны нам потому, что их бесконечно много, но при этом крайне сложно выявить какие-либо закономерности в их распределении», — объясняет Кен Оно (Ken Ono), математик из Университета Виргинии.
Одна из ключевых целей — понять, как простые числа распределяются внутри больших множеств.
Недавно Оно и его коллеги — Уильям Крейг (William Craig) из Военно-морской академии США и Ян-Виллем ван Иттерсум из Кёльнского университета в Германии — представили совершенно новый подход к поиску простых чисел.
«Мы описали бесконечное множество новых критериев, позволяющих точно определять простые числа, и все они радикально отличаются от привычного “если не делится, значит простое”», — говорит Оно.
Их работа, опубликованная в Proceedings of the National Academy of Sciences USA, заняла второе место в конкурсе научных публикаций по физическим наукам, оцениваемым по оригинальности и значимости. По сути, исследование предлагает бесконечное количество новых определений того, что значит “быть простым числом”, подчёркивает учёный.
В основе метода команды лежит понятие разбиений целых чисел.
«Теория разбиений — очень старая», — рассказывает Оно.
Её истоки восходят к швейцарскому математику XVIII века Леонарду Эйлеру (Leonhard Euler), а позже она неоднократно дорабатывалась.
«Разбиения на первый взгляд кажутся детской забавой, — говорит он. — Сколько существует способов сложения чисел, чтобы получить другое число?»
Например, число 5 можно представить как сумму: 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 и 1+1+1+1+1 — всего семь способов.
Тем не менее, это простое на вид понятие оказалось мощным инструментом для выявления простых чисел.
«Поразительно, что столь классический комбинаторный объект — функция разбиений — может использоваться для определения простых чисел столь неожиданным способом», — говорит Катрин Брингманн (Kathrin Bringmann) из Кёльнского университета. (Она работала с Оно и Крейгом ранее и сейчас является научным руководителем ван Иттерсума, но в этом исследовании участия не принимала.)
По словам Оно, идея такого подхода родилась из вопроса, который задал его бывший студент Роберт Шнайдер (Robert Schneider) — ныне математик из Технологического университета Мичигана.
Оно, Крейг и ван Иттерсум доказали, что простые числа — это решения бесконечного множества особых полиномиальных уравнений, построенных с использованием функций разбиений. Эти уравнения называются диофантовыми — в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского (хотя изучались ещё до него). Уравнения этого типа могут иметь целочисленные или рациональные решения (то есть представимые в виде дробей).
«Функции разбиений позволяют определять простые числа бесконечным числом естественных способов», — пишут исследователи в своей статье в PNAS.
Джордж Эндрюс (George Andrews), математик из Университета штата Пенсильвания, редактировавший статью, но не участвовавший в исследовании, назвал открытие «совершенно новым» и «неожиданным», подчеркнув, что пока трудно предсказать, к чему оно может привести.
Открытие выходит далеко за рамки анализа распределения простых чисел.
«Мы не просто изучаем простые числа — мы точно их определяем», — говорит Оно.
Метод позволяет подставить в специальные уравнения любое целое число от 2 и выше, и если равенство выполняется, то число является простым. Например, одно из таких уравнений выглядит так:
(3n³ − 13n² + 18n − 8)M₁(n) + (12n² − 120n + 212)M₂(n) − 960M₃(n) = 0,
где M₁(n), M₂(n) и M₃(n) — хорошо изученные функции разбиений. Исследователи пишут, что для определённого типа этих функций существует бесконечное число подобных уравнений с постоянными коэффициентами. Проще говоря, по словам Оно:
«Наша работа даёт вам бесконечно много новых определений простых чисел — это просто умопомрачительно.»
По мнению Брингманн, это открытие может привести к множеству новых результатов.
«Помимо его фундаментальной математической ценности, оно может вдохновить на изучение неожиданных алгебраических или аналитических свойств комбинаторных функций», — отмечает она.
В комбинаторике — разделе математики, изучающем способы выбора и расположения объектов — такие функции описывают количество возможных комбинаций элементов в множествах.
«Более широко, это подчёркивает богатство связей внутри самой математики, — добавляет она. — Подобные открытия нередко стимулируют новое мышление в различных её разделах.»
Она также предполагает направления, в которых можно развивать это исследование. Например, можно попытаться найти другие математические структуры, выявляемые с помощью функций разбиений, или расширить основной результат на другие классы чисел.
«Можно ли обобщить основной результат, скажем, на составные числа или значения арифметических функций?» — задаётся вопросом учёная.
«Кен Оно, на мой взгляд, один из самых ярких математиков современности. — говорит Эндрюс. — Это не первый раз, когда он по-новому взглянул на классическую проблему и пролил на неё свет.»
Тем временем остаётся множество неразрешённых задач, связанных с простыми числами, многие из которых известны уже давно. Среди них — гипотеза о близнецах и гипотеза Гольдбаха. Первая утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2. Например, 5 и 7 — простые-близнецы, как и 11 и 13. Гипотеза Гольдбаха гласит, что любое чётное число больше 2 можно представить как сумму двух простых чисел хотя бы одним способом, объясняет Оно. Однако доказать эту гипотезу пока никому не удалось.
«Такие задачи сбивают с толку математиков и теоретиков чисел на протяжении поколений, почти всю историю теории чисел», — говорит Оно.
И хотя недавнее открытие не решает эти головоломки, оно является наглядным примером того, как математики расширяют горизонты, стремясь глубже понять загадочную природу простых чисел.
