Школьницы Калсея Джонсон (Calcea Johnson) и Не’Кия Джексон (Ne’Kiya Jackson) сделали в 2023 году то, что многие математики считали невозможным: они нашли способ доказать теорему Пифагора, используя тригонометрию, без использования круговой логики. Теперь их работа опубликована в рецензируемом научном журнале, и они представили ещё четыре подобных доказательства.
Теорема Пифагора (утверждающая, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон) была известна еще за тысячу лет до самого Пифагора. С момента её открытия математики нашли сотни способов доказать её истинность. Новые доказательства принадлежат таким знаменитым личностям, как Евклид, Эйнштейн и даже бывший президент США. Дополнительные доказательства не требуются для строительства городов или отправки ракет в космос, но их поиск — это не только способ поддерживать математическое мышление в форме или демонстрировать знания. Новые доказательства порой приводят к открытиям в других областях математики.

Эти доказательства берут своё начало в различных разделах математики, однако в самой полной коллекции этих доказательств указано, что ни одно из них не опирается на тригонометрию, поскольку она воспринимает теорему как одну из своих отправных точек. Но в 2023 году Не’Кия Джексон и Калсея Ружан Джонсон изменили эту ситуацию.
Аннотация доклада, который Джонсон и Джексон представили по своей находке, начиналась с фразы:
«На протяжении 2000 лет, что существует тригонометрия, считалось, что любое предполагаемое доказательство теоремы Пифагора, основанное на тригонометрии, обязательно будет иметь круговую логику.»
Как они показали в своем докладе, это не так.
Такое открытие вызвало неизбежное волнение среди узкого круга любителей математических доказательств. Оно получило широкое распространение благодаря тому, что открывшие его девушки всё ещё были старшеклассницами и их вдохновил бонусный вопрос на математическом конкурсе с призом в 500 долларов. Видеоролики, воссоздающие их работу по слайдам из доклада, собрали необычно большое количество просмотров как для темы, связанной с абстрактной математикой.
Объявление о находке Джонсон и Джексон вызвало разногласия. Некоторые утверждали, что их доказательство не было тригонометрическим, другие — что тригонометрические доказательства уже существовали, а третьи — что их доказательство не является оригинальным. Вы можете самостоятельно сделать свои выводы, но существует версия, что такая лютая враждебность связана с тем, что Джексон и Джонсон — афроамериканки.
Пока критики высказывали свои замечания, публика на математической конференции, где выступали Джексон и Джонсон, поддержала их, и они отправили свою работу в рецензируемый журнал. Прежде чем сделать это, они решили найти ещё несколько доказательств.
Теперь же критики должны доказать, почему они более квалифицированы в оценке оригинальности работы, чем редакторы и рецензенты журнала.
В статье авторы начинают с доказательства для равнобедренного треугольника (где две стороны равны). Далее приводится их основное доказательство, представленное на конференции, применимое ко всем неравнобедренным прямоугольным треугольникам, а также еще четыре доказательства, также основанные на тригонометрии. Авторы показывают, что ни одно из них не имеет круговой логики, то есть не опирается на теоремы, которые, в свою очередь, основаны на теореме Пифагора. Пятое доказательство охватывает как равнобедренные, так и неравнобедренные треугольники одновременно.
Но и на этом их работа не заканчивается — авторы утверждают, что нашли еще пять доказательств, основанных на той же базовой методике, оставляя их для самостоятельного изучения читателям.
Джексон и Джонсон признают, что существуют и более ранние тригонометрические доказательства, но считают, что большинство из них — это просто переработки уже существующих методов. По их словам, «использование тригонометрических терминов в таких случаях лишь усложняет понимание и не добавляет ничего нового к более простому объяснению». Тем не менее, они признают два ранее опубликованных доказательства как тригонометрические.
Даже с этим признанием их работа явно является значительным вкладом в создание тригонометрических доказательств, которые упускались многими поколениями математиков.
«Опубликовать научную статью в таком юном возрасте — это невероятно, — сказала Джонсон. — Поэтому тот факт, что все эти люди на самом деле интересуются STEM и математикой, действительно согревает мое сердце и заставляет меня по-настоящему воодушевляться тем, как далеко продвинулся STEM.»
Помимо вклада в математику, Джексон и Джонсон способствовали также улучшению математического образования. В статье они критикуют методику преподавания тригонометрии в школах, отмечая, что «для одних и тех же тригонометрических терминов существует два разных определения». Попытка разобраться в тригонометрии может быть подобна попытке разобраться в картинке, на которой два разных изображения напечатаны друг на друге.
Авторы поясняют, что их работа стала возможной благодаря различению этих двух способов определения тригонометрических выражений и сосредоточению на том, который соответствует исходному значению термина.
И хотя основная работа была проделана, пока они еще учились в школе, что и привлекло массовый интерес, теперь Джексон и Джонсон учатся в университетах, изучая соответственно фармацию и экологическую инженерию. Они отмечают, что публикация первой научной работы стала испытанием на фоне адаптации к университетской жизни.
«Я очень горжусь тем, что мы можем быть позитивным примером и показать, что молодые девушки и женщины разных национальностей могут добиться такого успеха, и показать им, что они могут достичь всего, чего захотят. Это делает меня по-настоящему гордой», — сказала Джонсон.
И хотя их университеты, безусловно, рады таким студентам, Джексон и Джонсон ещё есть чему поучиться в академических кругах, где продвижение по службе часто зависит от количества опубликованных статей. Это заставляет многих ученых разбивать работу на «минимальные публикуемые единицы», чтобы максимизировать количество статей, принадлежащих их имени. Тем не менее, когда ваша первая статья выходит в подростковом возрасте и привлекает столько внимания, вам, вероятно, не нужно делать каждое доказательство отдельной статьей, чтобы начать свою карьеру.
Работа опубликована в журнале American Mathematical Monthly, главный редактор которого, Делла Дамбоу (Della Dumbaugh), отметила:
«Для Monthly большая честь и радость опубликовать работу этих двух студенток. Эта работа отражает дух Бенджамина Финкеля (Benjamin Finkel), когда он основал журнал в 1894 году, чтобы представить математику, доступную для учителей и студентов.»