Ах, математика. Возьми простую задачу, знакомую нам ещё со школы, немного усложни её — и внезапно ты сталкиваешься с проблемой, над которой бьются лучшие умы мира уже не одно поколение. Разве не всегда так?
Но, судя по новой научной работе Нормана Уайлдбергера (Norman Wildberger) — почётного профессора Университета Нового Южного Уэльса, и Дина Рубина (Dean Rubine) — программиста и школьного преподавателя математики из Нью-Гэмпшира, всё может быть не так уж безнадёжно. Используя особую последовательность чисел, расширяя её в несколько измерений и превращая в таинственную структуру, которую они назвали «Геод», исследователи предложили новый способ подойти к задаче, которую раньше считали нерешаемой: как найти общий метод решения уравнений пятой степени и выше, вроде x⁵ – 3x³ + x – 1 = 0.
Иронично, но всё началось с отрицания, которое бы вполне устроило древнегреческих философов.
В чём проблема?
Решение уравнений, несмотря на сложную терминологию, — далеко не новая задача. Ей уже около 4 тысяч лет: как пишут Уайлдбергер и Рубин, ещё вавилоняне умели решать систему x + y = s, xy = p, что эквивалентно квадратному уравнению. И вообще, многие основы математики вращаются именно вокруг многочленов — например, доказательство иррациональности корня из двух (x² = 2) стоило жизни философу Гиппасу, которого, как говорят, утопили за эту «ересь».
Но даже спустя века, полное решение уравнений остаётся непростой задачей. Да, квадратные уравнения (с x² как наибольшей степенью) решаются даже школьниками. Но уже при переходе к кубическим (с x³) потребовались столетия и появление новых числовых систем.
Далее идут уравнения четвёртой степени (x⁴). Хотя формула для их решения существует, на практике ей почти никто не пользуется — она слишком громоздкая. Проще перевести уравнение в другую систему счисления, решить его там, а затем вернуться обратно.
И вот мы добрались до пятой степени — квинтических уравнений.
Что не так с уравнениями пятой степени?
Некоторые из них в принципе невозможно решить. И это не преувеличение. С 1824 года известно, что есть уравнения пятой степени и выше, корни которых нельзя выразить с помощью обычных арифметических операций и корней — то есть в радикалах.
Что такое радикалы? Это выражения под знаками корней, вроде √2 или ∛x. Тогда возникает логичный вопрос: если радикалы не работают — что, если использовать другой подход?
Радикальный подход
Уравнения до четвёртой степени хоть и сложные, но всё же поддаются решению с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Результаты таких операций — алгебраические числа: например, ½, −3√3, 1 + √5i, 18 000 306 и прочие.
Но именно использование радикалов (корней) вызывает у Уайлдбергера сомнения. Он прямо заявляет: «Я не верю в иррациональные числа». По его мнению, они нечёткие, логически противоречивы и требуют «бесконечных вычислений и жёсткого диска больше, чем вся Вселенная».
Это мнение не разделяется большинством математиков, но Уайлдбергер считает, что оно позволяет «открыть заново закрытую главу в истории математики». Избегая радикалов и иррациональных чисел, он предлагает альтернативу: решение с помощью бесконечных многочленов — так называемых степенных рядов.
Сначала идея кажется странной: ведь степенной ряд — это бесконечное выражение. Но история уже знает такой подход. В 1844 году математик Эйзенштейн использовал степенной ряд, чтобы решить уравнение x⁵ + x – t = 0 — первое известное уравнение, которое нельзя решить через радикалы.
Более того, существуют знаменитые Каталанские числа (Числа Каталана) — последовательность, которая позволяет выразить решение квадратного уравнения в виде бесконечного ряда. И хотя такой способ сложнее, чем стандартная формула, для компьютеров он вполне удобен.
Так почему бы не сделать то же самое для уравнений более высокой степени?
Как Каталанские числа выходят на новый уровень
Решение найдено в пересечении двух областей — геометрии и комбинаторики. Каталанские числа впервые появились в 1751 году: Леонард Эйлер использовал их для подсчёта способов разбиения многоугольника на треугольники. Уайлдбергер пошёл дальше: он стал делить фигуры не только на треугольники, но и на четырёхугольники, пятиугольники и так далее.
Каждому такому способу он присвоил новое число — гиперкаталанское. Эти числа были организованы по типу граней, и в итоге появилась новая математическая структура — Геод (Geode). Это, как утверждает Уайлдбергер, «фундаментально новый массив чисел», который расширяет и включает в себя классические Каталанские числа.
«Изучение Геода, вероятно, породит множество новых задач и надолго займёт комбинаториков», — говорит он.
Всё ради многочленов
И хотя Геод и вызывает огромный интерес, его основная цель — всё же помощь в решении многочленов. Гиперкаталанские числа нельзя использовать для нахождения точных решений — но и радикалы, по мнению авторов, не могут этого. Зато они позволяют построить бесконечную последовательность, которая достаточно точно приближает решение, если обрезать её на нужном этапе.
И хотя возможны сложности со сходимостью, тесты показали хорошие результаты:
«Даже используя лишь малую часть всей последовательности, мы получаем впечатляющие результаты», — говорится в статье.
Что дальше?
Разумеется, численные приближения уравнений пятой степени и выше возможны давно. Но здесь важна не только цель, но и сам путь.
Главная ценность — в Геоде. Как отмечают авторы, это «объект значительного интереса». Кроме того, метод открывает путь для новых исследований: можно ли использовать другие ряды вместо Каталанских чисел? Насколько этот способ эффективен в сравнении с современными методами численного приближения? И как он применим в вычислительной математике?
Но для Уайлдбергера главный смысл, кажется, в философии.
«Формальные степенные ряды — это алгебраическая и комбинаторно точная альтернатива функциям, которые невозможно явно вычислить, — говорится в статье. — Поэтому они должны занять более важное место в математике.»
«Это логичный способ избавиться от множества бесконечностей, которые переполняют современную математику. А комбинаторный и вычислительный подход — по-настоящему мощный, и мы должны использовать его по максимуму.»
Исследование было опубликовано в журнале The American Mathematical Monthly.
